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_ [子供の数学] 12個の玉

子供と遊んでいると，ある問題に出くわした．初見，簡単じゃね？って思ってたら，思いの外，難しかった．というか，え？あれ？ってなった．なので備忘録的に残しておく．

んで，問題．

12個の玉がある．うちひとつだけ重さが違うものが存在する．天秤を3回だけつかい，そのひとつを特定せよ．またその際，他の玉と重いのか軽いのかも特定せよ．

てな感じ．まあよくありそうな問題．

じゃあ解決編いくよー．

4つずつ、3つのグループに分ける。それぞれA,B,Cとする。また、重量の違う玉をxとする。
AとBを天秤にかける。（1回目）
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+-傾いた場合
| ABの8つの玉のうちにxが混じっていることが解る。でかつ重い可能性がある玉が4つ、軽い可能性がある玉が4つとなる。
| その8つの玉を次のようにグループ分けする。
|   重軽軽・・・D
|   重軽軽・・・E
|   重重・・・・F
| で、次にDとEを天秤にかける（2回目）
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| +-Dに傾いた場合
| | Dの重い玉、もしくはEの2つの軽い玉のいずれかにxがあると特定できる。つまり3つに特定できる。
| | でEにあった2つの軽い玉を天秤にかける（3回目）
| | +-傾いた場合
| | | 軽かった方が、x
| | +-つりあった場合
| |   天秤にかけなかった、重い玉がx
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| +-Eに傾いた場合
| | Eの重い玉、もしくはDの2つの軽い玉のいずれかに、以下同文。
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| +-つりあった場合
|   Fの2つのいずれかがxであると特定できる。よって、Fの2つを天秤にかける（3回目）
|     傾いた方が、x
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+-1回目の天秤でつりあった場合
  Cの4つの玉にxが混じっていることが解る。またABはすべて同じ重さということが解る。
  Cのうち3つを選択し、またAのうち3つを選択し天秤にかける（2回目）
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  +-元Cに傾いた場合
  | 天秤にかけた元Cの3つが重いことが解る。
  | 3つのうち2つを天秤にかける。（3回目）
  | +-傾いた場合、
  | | 2つのうち重い方がx
  | +-つりあった場合
  | 　残りの1つがx
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  +-元Aが傾いた場合
  | 天秤にかけた元Cの3つが軽いことが解る。
  | 上記と同様に、以下同文。
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  +-つりあった場合
    天秤にかけなかった1にxが特定される。
    で、同じ重さの玉と、xを天秤にかけてると（3回目）xが軽いか重いが解る。

なにこれ，こんな場合分けしなきゃいけないの！？ じゃあね！